The Chain Lemma for Kummer Elements of Degree 3

Let A be a skew field of degree 3 over a field containing the 3 roots of unity. We prove a sort of chain equivalence for Kummer elements in A. As a consequence one obtains a common slot lemma for presentations of A as a cyclic algebra. Châınes d’éléments de Kummer en degré 3 Résumé. Soit k un corps contenant les racines cubiques de l’unité, et soit A un corps gauche de centre k, avec [A : k] = 9. Nous montrons que deux éléments de Kummer de A peuvent être joints par une châıne de longueur 4. Version française abrégée Soit k un corps contenant une racine primitive n-ème de l’unité ζ, et soit A une k-algèbre centrale simple de degré n. Un élément de Kummer de A est un élément dont le polynôme caractéristique est de la forme t−a, avec a ∈ k∗. Par une ζ-paire on entend un couple (X,Y ) d’éléments de Kummer de A tels que Y X = ζXY . Une telle paire donne une présentation de A comme produit croisé cyclique : A = 〈X,Y | X = a, Y n = b, Y X = ζXY 〉, avec a, b ∈ k∗. Soient X, Y deux éléments de Kummer de A, et soit m un entier ≥ 1. Une châıne de longueur m joignant X à Y est une suite de m+1 éléments de Kummer : X = Z0, Z1, . . . , Zm = Y tels que (Zi−1, Zi) soit une ζ-paire pour i = 1, . . . , m. Supposons que A soit un corps gauche. Si n = 2 (i.e. si A est un corps de quaternions), il est facile de voir que tout couple d’éléments de Kummer peut être joint par une châıne de longueur 2. Si n = 3, J.-P. Tignol a donné des exemples de couples (X,Y ) d’éléments de Kummer tels qu’il n’existe aucune châıne de longueur 2 joignant X à Y (ni même à un conjugué de Y , cf. Appendice) ; dans ce qui suit, nous montrons qu’un tel couple peut être joint par une châıne de longueur 4. La démonstration s’inspire de celle donnée par Petersson-Racine [1] pour un résultat analogue dans les algèbres de Jordan exceptionnelles. Comme conséquence, on obtient un “common slot lemma” pour les algèbres de degré 3. Date: February 19, 1999. The text appeared as: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 328 (1999), no. 3, 185–190.